2014年 01月 24日

水平線(地平線)までの距離

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三浦半島から眺める早朝の相模湾です。

海を眺めるのは昔から大好きです。
はるか彼方の水平線を見ていると、地球の広大さを実感できますし、
悩みやストレスもいつの間にかこの広大な海原に溶けてしまいそうに感じます。

ところで・・・ このはるか彼方の水平線は、いったいどこにあるのだろうか?

というか、水平線までの距離はどれくらいあるのだろうか?

何年か前に、ふとそのような疑問を感じて調べてみたことがあります。

前回の記事「木更津から富士山(富士山はどこまで見えるのか)」に関連する内容です。



地球は丸いので、どこまでも見渡せるわけではない。 これは誰でもわかることです。

どこを水平線(地平線)と呼ぶのか、まず最初に、それをわかりやすくするために
下のような図を作ってみました。稚拙なイラストなので笑わないでくださいね(笑)

b0290189_12095914.jpg

この図でわかりますでしょうか(笑)
要は、視線と地球の接線が水平線(地平線)というわけですね。


では、この接線(水平線)までの距離を求めるには、どうすればいいのか・・・

b0290189_12091402.jpg

この図を見て 「あぁ、なるほどね」 とすぐに理解できた方や、
すぐに自分で計算して答えを求めることができた方は、恐らく理系の方か、
またはとても賢い頭脳をお持ちの方でしょう。

わかる方はいちいち説明するまでもないでしょうが、中学校の数学で習った
三平方の定理(ピタゴラスの定理)を使えば計算ができます。

私などはすっかり頭が錆び付いてしまっており、恥ずかしながら
「三平方の定理・・?そういえばそんなものもあったなぁ」
というレベルでした(笑)

忘れてしまった方(私も数年前まですっかり忘れていました)は、
上の図も参考にしながら思い出してください。

目の高さを h 、地球の半径をRとします。
今回求める値(x)は、上の三平方の定理の図においては(b)の部分になりますよね。

a² + b² = c² ∴ c² - a² = b²b0290189_11583549.jpg

これを当てはめてみると

(R + h)² - R² = x²



√ (R + h)² - R² = x (距離)



+ 2Rh + h² - = x (距離)

∴ x (距離) = √ 2Rh + h²


という式になりますね。

これに実際の値を入れて計算してみます。

地球の半径(R)は約6370km

観測者の目の高さは、水面から180センチ(0.0018km)と仮定した場合

√(2*6370*0.0018)+0.0018^2

この計算式で求められます。
掛け算の記号は(*)で、二乗の記号は(^)で表示しています。

上の式をそのままGoogleの検索窓に入力してみてください。
計算結果が瞬時に表示されます。(便利な世の中になりましたね!)


その計算結果は「4.7887...」


つまり、海岸線に立って、水面から180センチの高さに目がある場合は
水平線まで約4.78km ということです。


意外と近いと思いませんか?!

これは個人の感覚によって違うと思いますが、私は近いと感じました。
東京駅からスカイツリーまでが、ちょうど5kmくらいです。
それより近いわけです。走れば30分くらいで行ける距離です!

観測者の視点が高くなればなるほど遠くまで見えるわけですが、仮に3mの
高さから見たとしても6kmちょっと先までしか見えないことがわかります。
100mの高さだと約36km先まで。

地球が丸いことは誰でも知っていると思いますが、普段は全くそれを意識する
ことがないほど地球は大きく感じますし、平らな面にいるという感覚しかありません。
こうして考えると、やっぱり地球は丸いんだな!と実感できますよね。

もちろん地球は完全な球体ではありませんし、大気中の光の屈折があるので
厳密にはこの通りではありません。観測する場所や条件によって微妙に
誤差は出るでしょうから、あくまでも近似値となります。

それを考慮した計算はものすごくフクザツで、私にはできそうにありません(笑)
ですが、距離としてはそれほど大きく違いはありません。

先日の記事でお伝えした「富士山は236km先まで見える」というのは
上の図を見るとイメージしやすいと思います。

まぁ、太陽が水平線から昇ったり、水平線の向こうへ沈んでいくのも
同じ原理なので別段面白いことでもなんでもないかもしれませんが(笑)

ちなみに、先日アップした木更津から見た横浜の夜景ですが、
直線距離で約27kmあります。
カメラのイメージセンサーは海面から3メートル以下の高さだったので、
どんなに誤差があったとしても完全に水平線より下にあるわけですね。

それでも見えるのは建物の高さがあるからで、厳密にいえば一番下までは
見えていないことになるのですね。

なんだか面白いと思いませんか?

こういう、どういうでもいいようなことを考えていると面白いし、
それだけで時間が潰せるというお得な性格なのです(笑)



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by view-finder | 2014-01-24 11:53 | Comments(2)
Commented by hanashigai at 2014-01-31 16:12
こんにちは
う~ん、計算式が出てくると途端に拒否反応が(笑)
身長180センチの方が、水平線まで5キロに満たないのは驚きでした!
波や海流とか関係なく、距離だけなら泳いで行けるじゃん\(^o^)/と。
と云うことは琵琶湖でも場所によっては水平線は見えているんですね。
先入観が邪魔をして見えるものが見えない、イケないことですね。
Commented by view-finder at 2014-01-31 18:39
▼ hanashigaiさん
おっしゃるとおり琵琶湖ならそうなりますよね!
僕も最初このことを知った時は、かなり近いと感じました。
色々調べてみても、この計算で間違いないみたいです。
もちろん光の屈折がありますので多少の誤差は出ますけどね。
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